DiaryINDEX｜past｜will
| 2003年07月13日(日) | 其の確率は… |
男二人 Y1 Y2
女３人 X1 X2 X3
Y1の子が生まれる確率を求めよ・・・。
Y1 Y2 X1なら、Y1=1/2
Y1 X1なら、Y1=1
Yが一つなら、Y=1
Yが２つ、Xが一つならY=1/2
(Y1,X1)=1
(Y2,X1)=1/2
(Yn,X1)=1/n
X2となると、
(Y1,X2)=1
有り得ないながら、数学的には
(Y1,Xn)=1
(Y2,X2)
ここから話がややこしくなってくる。
(Yn,Xm)を求めたい・・・(^_^;
あー、こんな確率・数列な問題、
元ネタはどこと無く下世話無いと言うに（爆
(Y2,X2)
場合分け・・・。
事細かくね。
1.
Y1-X1
Y2-X2
2.
Y1-X2
Y2-X1
3.
Y1-X1
Y1-X2
4.
Y2-X1
Y2-X2
この4通りで完結。
Y1が絡むのは半数、よって1/2となりますな。いや、3/4。
Y2のみの可能性を排除すれば良し。
(Y2,X2)=3/4
(Y2,X3)
一応場合分け。ちと面倒になってくるよ・・・。
1.
Y1-X1
Y1-X2
Y1-X3
2.
Y1-X1
Y1-X2
Y2-X3
3.
Y1-X1
Y2-X2
Y1-X3
4.
Y2-X1
Y1-X2
Y1-X3
5.
Y1-X1
Y2-X2
Y2-X3
6.
Y2-X1
Y2-X2
Y1-X3
7.
Y2-X1
Y1-X2
Y2-X3
8.
Y2-X1
Y2-X2
Y2-X3
8*3=24通り、関われるのは12通り。
よって1/2となりますか・・・。いや、Y2ばかりの8.を除いて7/8でしょうか。
(Y2,X3)=7/8のようですな。
ま、一人はということで。
(Y2,X3,3)で3人にY1の子ってなら、1/8でしょうが。
(Y2,X3,2)となると・・・二人のみと、二人以上で異なってきます。
二人のみ3/8、二人以上は4/8=1/2
(Y2,Xn)となりますと・・・。
X4の時は、
Y1 Y1 Y1 Y1・・・2^4。そして、Y2のみが1通り。
(Y2,Xn)=((2^n)-1)/2^n
となりますかね。限りなく1に近づいていきます。
lim (Y2,Xn) = 1
n→∞
ってのはあっさり分かります。
(Yn,Xm,l)とも出来ますか・・・。
n,m,lは自然数、m≧lとしてね。
lは子の数。
あら〜、本題の男二人 女３人だと
少なくとも一人はY1の子である確率は
7/8
かなり高いですな。
折角だから、
(Yn,Xm)や
(Yn,Xm,l)も求めたいですな・・・。
時間掛かりそ(^_^;
(Yn,X1)=1/n
(Y1,Xn)=1
(Y2,Xn)=((2^n)-1)/2^n
あと、
(Y2,Xn,n)=1/2^n (全員Y1の子)
となりますな。そして、(Y2,Xn,1)+(Y2,Xn,n)=1ともね。
さて、スパフリ気味になってきますた（謎
(Y3,Xn)と行きますか・・・。
(Y3,X1)=1/3
(Y3,X2)
あぁ、場合分けから推測。
1.
Y1-X1
Y1-X2
2.
Y1-X1
Y2-X2
3.
Y1-X1
Y3-X2
4.
Y2-X1
Y2-X2
5.
Y2-X1
Y3-X2
6.
Y3-X1
Y3-X2
7.
Y3
Y1
8.
Y2
Y1
9.
Y3
Y2
この9通りですな。関われるのは5/9
(Y3,X2)=1/3
(Y3,X2,2)=1/9
(Y3,X3)
もう面倒臭くなってきました(^_^;
111 _123 右辺は関係無いですな。
112 121 211 122 212 221 222
123 132 312 321 213 231
223 232 322 233 323 332 333
311 131 113 133 331 313
27通り。3^3ですな。
全く関われないのが8通り。
(27-8)/27=19/27
案外とややこしい数値になりますな・・・。
(3^3 - 2^3) / 3^3
という感じになりますな。
(Y3,Xn)=((3^n)-(2^n))/3^n
と推測します。
(Y2,Xn)=((2^n)-1)/2^n
こいつらから推測するに、
(Yn,Xm)=((n^m)-(n-1)^m)/n^m
かなぁ・・・と。
どいつもこいつも極限値は1になりそう。
(Y4,X2)を試しに。
11 12 21 22 13 31 14 41 33 44
32 23 42 24 43 34
16通り。
Y1は7通り。7/16
(Y4,X2)= ( 4^2 - 3^2 ) / 4^2 = (16-9)/16 = 7/16
どうやら合っているようですな。
厳密な検証はともかくとして、一般項は導けました・・・と。
・(Yn,Xm)=((n^m)-(n-1)^m)/n^m
もうちっとエレガントに
1- ((n-1)^m)/n^m
うーん、元の式のほうが覚えやすいか。
( 総数 - 自分の関与しない数 ) / 総数
って式ね。
(Yn.Xm,l)に関しても
(Yn.Xm,l) = (Yn,Xm)=((n^m)-(n-l)^m)/n^m
で良さそうなﾔｶﾝ
・・・いや違うか。
(Y2,Xn,n)=1/2^n
(Yn,Xm,m)= 1/n^m
n,m,lに関しては、
nとmは自然数、lも基本的には制約無し・・・。
m≧lとはしていますが、双子や三つ子とかなら事情は変わるし。
l=1に関しては、1以上全て含んでいますから
l=2に関しても、2以上全てとしますか。
(Y2,X3,1) = 2^3 - 1^3 / 2^3 = 7/8
(Y2,X3,2) = 4/ 2^3 = 4/8 = 1/2
(Y2,X3,3) = 1/ 2^3 = 1/8
ついでに、
(Y2,X3,0) = 1/ 2^3 = 1/8
全て独占か、全て無いかで確率的には一致します。
(Y2,Xn,1)+(Y2,Xn,n)=1
これもほぼ自明ということで。
3C2=3
3C3=1
組み合わせの和が出てきそうですな・・・。
nCm=n!/[(n-m)!・m!]
8C3=876/321 = 56
(Y2,X3,2) = [ 2^3 - (1^3 + 3C2) ] / 2^3
3C2=3なので、一応辻褄は合いますが・・・。
●上から試しに既知のを持ってくる
(Y4,X2)を試しに。
11 12 21 22 13 31 14 41 33 44
32 23 42 24 43 34
16通り。
Y1は7通り。7/16
(Y4,X2)= ( 4^2 - 3^2 ) / 4^2 = (16-9)/16 = 7/16
で、
(Y4,X2,0) = 9/16
(Y4,X2,1) = 7/16
(Y4,X2,2) = 1/16
・・・、0の確率が一番高いと言う事に。
うーむ・・・
(Ym,Xn)なら1人以上としましたが
(Ym,Xn,l)なら、l人丁度とした方が都合良さそうです。
0の時、0人以上となると全てに成ってしまいますかに。
そして、
(Ym,Xn)+(Ym,Xn,0)=1
ということに。
●(Y3,X3)の場合・・・
111 112 121 211 122 212 221 222
123 132 312 321 213 231
223 232 322 233 323 332 333
311 131 113 133 331 313
27通り。3^3
全く関与できないのが、2^3=8通り。
(X3,Y3,0) = 2^3 / 3^3 = 8/27
(X3,Y3,1) = 3^3 - (15) / 3^3 = 12/27 = 4/9
(X3,Y3,2) = 3^3 - (21) / 3^3 = 6/27 = 2/9
(X3,Y3,3) = 1 / 3^3 = 1/27
・・・、0とn、そして(Ym,Xn)は割りと簡単に行けそうです。
(Ym,Xn,0) = (m-1)^n / m^n
(Ym,Xn,n) = 1 / m^n
(Ym,Xn,l≧1) = [m^n - (m-1)^n] / m^n = 1- (Ym,Xn,0)
途中が問題ですな・・・。
帰納法で片付けたい所ですが・・・。ちと自信無し。
1ABC A1BC
4つの中で1が一つだけ混じる
3^3 * 4通りかな。
3つの中で1が一つだけ混じるのは、
1AB 2^2 * 3 = 12 となりますな。
(X3,Y3,1) = ( 2^2 * 3 ) / 3^3 = 12/27 = 4/9
N個の中で、1が一つだけ混じるのは
(N-1)^(N-1) * N 通りとなりますか・・・。
すなわち、
(Ym,Xn,1) = [ [(m-1)^(n-1)]*n ] / m^n
なんか、似ても似つかぬ式が出てきた感じじゃ。
(Y4,X2,1) = 3^1 *2 / 16 = 6 / 16・・・。
ちとmとnの関係を確認。m,n,n
(Y3,X2,1) = 4/9とは分かっています。
検算・・・。
= 2^1 *2 / 3^2 = 4/9
まあいいでしょう。
途中で、
(Yn,Xm)を
(Ym,Xn)としている自分に気付く(^_^;
ちと混乱もしてますが、
まとめ。。。
1.
(Ym,Xn) = (Ym,Xn,l≧1) =
[(m^n) - (m-1)^n ] / m^n
2.
(Ym,Xn,0) = (m-1)^n / m^n
そして、1.+2.=1
3.
(Ym,Xn,n) = 1 / m^n
4.
(Ym,Xn,1) = [[(m-1)^(n-1)]*n ] / m^n
なんかの関数式の1を代入して出てきたという感じの式ですな・・・。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
さて、l=2行きますか。
(Y3,X3)で
11A は、6通り。
3(数字の桁数)*2(残りの数が取り得る数 Aは2か3)
3P2っぽい。
(Y3,X4)
11ABだと・・・
11BA 1AB1 1A1B
1BA1 1B1A AB11 A1B1 A11B
BA11 B1A1 B11A
12通り。
2^2 * 3
[(m-1)^(n-2)] * (n-1)
(Y4,X4)
11AB
ABの組み合わせが
23 24 34 32 42 43 22 33 44と9通りになるため
3^2*3=27通り。
んーまぁ、
3^2=9
3個の数字を2文字に並べるやり方・・・。
22 21 12とかも数える。
[(m-1)^(n-2)] * (n-1)
と推測。
(Ym,Xn,2) = [ [(m-1)^(n-2)] * (n-1) ] / m^n
ふーむ・・・。
(Ym,Xn,1) = [ [(m-1)^(n-1)]*n ] / m^n
似てますな。
強引に帰納法でも使ってみたくなる形してますね。
●(Ym,Xn,l) = [ [(m-1)^(n-l)] * (n-l+1) ] / m^n
とでもね。
l=0では成立しませんが、l=nでは成立しますな。
勝手に、
(Y5,X6,4)でも求めてみますか。
(Y5,X6,4) = 4^2 * 9 / 5^6 = 144/15625
おおよそ1%以下ってとこですな・・・。
これから地道に検算してみます・・・。
どうも違うらしい。
l=2が軒並み違う数値になります。
ひょっとしたら、かなり難しいかもしれませんな。
