★Izumiの数学・Mini★ 特性方程式
今回の話題は特性方程式について。
an+1=pan+q
で定義される数列{an}の一般項は、
特性方程式α=pα+qの解αを用いて、
an+1-α=p(an-α)
と置くことによって公比pの等比数列に帰着して解く、
というのが定番です。
さて、この特性方程式はどこから出てきたの？？
というのが今回のテーマ。
学校では、「こうすれば解けるんだから、覚えなさい」といわれるのが関の山。
受験でも書いてはイケナイことになっている。
そうなのだろうか？
僕なりの見解を示してみる。
もともとの漸化式を公比pの等比数列の漸化式のように見るためには、qが邪魔である。
そこで、次の上の式から下の式を引く。
an+1=pan+q ……（１）
α=pα+q ……（＊）
引き算することで、目的の式である
an+1-α=p(an-α) ……（２）
が登場する。
「等式から等式を引けば等式になる」という至極当然のことから、
（＊）の式が等式である必要がある。
そこで、（＊）式を等式たらしめるためには、
αが（＊）式の解である必要がある。
つまり、「（＊）が成立するもとで、（１）式は（２）式に変形可能である」ということである。
（＊）を成立させるためには、αが必要であり、具体的な値を求めるのが特性方程式だというわけだ。
昔からの謎だったという方はいらっしゃらないだろうか？
☆★☆今日のぺけぺけ☆★☆
今日の『宇多田結婚』
……若いのに。離婚しないでほしいものです。
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