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| 2004年06月26日(土) | 素数と暗号 |
ビル・ゲイツは子どもの頃、暗号で遊ぶのが好きだったようだ。「ビル・ゲイツ・未来を語る」という本の中で、暗号破りの天才だといわれているチャールズ・パベッジに触れた後、彼はこう語っている。
＜私自身、子どものころ暗号の魅力にとりつかれたひとりだ。どこの子どももやるように、何人かの仲間で集まって単純な暗号であそんだものだ。・・・かっては地球上のもっとも強力な政府でさえ解けなかった暗号が、いまの中学生には簡単に解ける。いずれ、コンピュータを使って、子どもたちが、どんな政府にも解読不能な暗号化メッセージを送信できるようになるだろう＞
素数を使えば、メッセージを暗号化することができる。そこで、今日はビル・ゲイツにならって、ちょっとした暗号遊びをしてみよう。たとえば、それぞれのアルファベットに二桁の素数を割り振り、暗号コード表をつくろう。
ｌ＝１１、ｏ＝３７，ｖ＝１３，ｅ＝９１・・・
そうすると、love＝１１、３７、１３、９１ となるが、これを二桁ずつかけ算して、暗号化することにすると、love＝４０７、１１８３である。暗号コード表があれば、この暗号化はたやすくできる。しかし、与えられた数字を二つの素数に分解して、この暗号を解読することはたやすいことではない。暗号を解きにくくするには、素数の桁数をあげてやればよい。
素数の桁数が大きくなれば素因数分解の困難性はさらに高くなる。たとえば、ａｂ＝２４９３１００８１から、ａ＝１１９２７、 ｂ＝２０９０３、を見つけだすことは、そうたやすいことではない。
コンピュータの登場によって、この困難性はかなり低められたが、それでも現代の数学者たちは、ふたつの素数の２５０桁の積を因数分解するには、将来どんなにコンピュータの性能が向上したとしても、何百万年もかかると信じている。
もっとも、いくら素数を使って暗号化しても、暗号コードを盗まれたらおしまいである。それに暗号コード表そのものを、どうやって暗号化するのかという難問もある。しかし、素数の性質を使えば、これらの難問も解くことができる。
つまり、暗号コードを一般公開して、しかもなお、暗号の機密性がたもたれるという離れ業が可能なのだ。そのしくみを簡単に言えば、「暗号化する鍵」と、暗号化された文章をもとにもどす「解読用の鍵」を別々にするのである。素数のかけ算を使えば、これが可能になる。数学者が発見したこの驚くべき方法について、明日の日記で紹介しよう。
