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| 2002年06月01日(土) | 「二次方程式と因数分解」（５） |
私「他に質問はありませんか。おや、たくさん手があがりましたね。Ｃさん、どうぞ」
Ｃ「二次方程式を解くのに、因数分解を使うということでしたが、他にどんな方法があるのでしょうか。二次方程式がいつも因数分解できるとは限らないように思うのですが」
私「Ｃさん、因数分解ができない例をひとつあげてください」
Ｃ「たとえば、 ｘ＜２＞−４ｘ＋１＝０ がそうです。掛けて１、足して−４という数字が思い浮かびません」
私「そうですね。この式を因数分解するのはそう簡単ではなさそうですね。そこで、因数分解以外の方法を考えてみましよう。誰か、名案はありませんか」
Ｆ「解の公式というのがありましたね。これを使うと、すべての二次方程式が解けるので、万能だと教わりました」
私「解の公式がありましたね。他にはありませんか」
Ｇ「やりかたは忘れましたが、平方式をつくって解く方法がありました」
私「そうですね。いわゆる＜平方完成＞という方法があります。実は解の公式もここから出てくるのです。それではこの方法でまず、最初の問題を解いてみましよう。
ｘ＜２＞＋２ｘ−３５＝０ ・・・・・・・・・・（１）
（ｘ＜２＞＋２ｘ＋１）−３６＝０
（ｘ＋１）＜２＞＝３６ ・・・・・・・・・・（２）
ｘ＋１＝±６
ｘ＝±６−１ よって、ｘ＝−７，５
どうですか。（２）式に誘導することで、すべての二次方程式は解けてしまします。Ｆさん流に言えば、これは万能ですね。Ｃさん、この方法で、さっきの問題を解いてみて下さい。
Ｃ「わあ、これは大変だ。まず、
ｘ＜２＞−４ｘ＋２＝０ ・・・・・・・・・（１）
このあとどうしたらいいのか、正直言ってわかりません。先生、助けて下さい」
私「まず次のような式に変形します。
（ｘ＜２＞−４ｘ＋○）−○＋１＝０
ここで、 （ｘ＜２＞−４ｘ＋○） を平方式にするには、○にどんな数字を入れたらいいか考えて下さい。そうですね、４がいいですね。形式的に言うと、ｘの係数を２で割ってから２乗すると○に入れるべき数が得られます。そうすると、
（ｘ＜２＞−４ｘ＋４）−４＋１＝０
（ｘ−２）＜２＞＝３
ｘ−２＝±√３、 ｘ＝２±√３ （答え）
ここで √３ は＜２乗すると３になる正の数＞を表します。 ±√３ のように２乗して３になる数のことを、３の平方根と呼んでいます。式で書くと、
（±√３）＜２＞＝３
さて、 ２−√３ と ２＋√３ の和が２になることはすぐにわかりますが、この積が１になっていることを確かめてみましよう。Ｃさん、黒板でお願いします。
Ｃ「わかりました。
（２＋√３）（２−√３）＝２＜２＞−（√３）＜２＞＝４−３＝１
たしかに、１になります。
私「補足になりますが、一般の二次方程式は係数ａ、ｂ、ｃ、を用いて、次のように書けます。
ａｘ＜２＞＋ｂｘ＋ｃ＝０
この式を同じように平方完成してやると、解の公式が得られます。
ｘ＝｛−ｂ±√（ｂ＜２＞−４ａｃ）｝／２ａ
Ｃ「そうする二次方程式の解法としては、
�＾�数分解の方法
�∧進�完成の方法
�２鬚慮�式を使う方法
があるというわけですね。とくに��の公式を暗記しておけば、二次方程式の解はすべて求まるわけですね」
私「まあ、そういうことです。しかし、公式を暗記して、ただ数値を代入するというだけでは、あまり面白くありませんね。これでは数学はたんなる暗記科目とかわらないですからね。やはりプロセスを大事にしたいですね。そしてそうしたプロセスを楽しめる心のゆとりが欲しいですね。そうした心の姿勢から、ほんとうに独自な、豊かな、発展的なものが生まれてくるのだと思います」
＜今日の一句＞ 木洩れ日に こころものどか 風光る 裕
