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| 2002年05月31日(金) | 「二次方程式と因数分解」（４） |
私「哲学好きのＧさんと話していたら、話がずいぶんと高尚になってしまいました。初歩的な質問でもいいですから、他の方もお願いします。Ｅさん、何かありませんか」
Ｅ「そうですね。それでは、一つ馬鹿みたいな質問で笑われそうですが、２乗して９になる数は、３と−３だと言われましたが、この２数の他に答えはないのですか」
私「だれか、答えてくれませんか。Ｆさん、どうですか」
Ｆ「ありません。 二次方程式 Ｘ＜２＞＝９ の答えはｘ＝＋３、−３ の二つだけです」
Ｅ「どうして２つだけだと分かるのですか」
Ｆ「そんなの、あたりまえではないのですか。いわゆる自明ということです」
Ｇ「ちょっとまってください。たしかに３の２乗は９ですし、−３の２乗も９ですから、この二つが解であることは自明と言ってもいいでしょうね。しかし、この二つ以外に、答えがないかどうか、自明と言えるかどうか、そう間単に決めつけてよいのでしょうか」
私「なるほど。その通りですね」
Ｇ「自明というより、自明のように思われているということではないでしょうか。常識的にはあたりまえでも、数学的には必ずしも明らかとはいえませんね。ここはちんと証明する必要がある」
Ｅ「証明ができるのですか。とすると、私の質問もまんざら捨てたものじゃないですね。是非、どなたか証明してください」
Ｆ「思い出しました。その証明は私にやらせて下さい。因数分解の方法を使えば簡単じゃないですか。
ｘ＜２＞＝９、 ｘ＜２＞−９＝０， ｘ＜２＞−３＜２＞＝０
（ｘ＋３）（ｘ−３）＝０、 これよりｘ＝−３，３ できましたよ」
私「やってみると、簡単ですね。しかし、ここで、
ａｂ＝０のとき、ａ＝０またはｂ＝０
という公式が使われていることを留意しておきましょう。だれか、他に証明ができた人はありませんか」
Ｇ「３以外に解があったと仮定して、その解を ３＋ｘ と置いてもできそうですね。つまり、
（３＋ｘ）＜２＞＝９、 ｘ＜２＞＋６ｘ＋９＝９， ｘ＜２＞＋６ｘ＝０
ｘ（ｘ＋６）＝０ これを解いて、 ｘ＝０，−６ 題意から ｘは０でないので、
ｘ＝−６ となります。したがって、２乗して９になるのは他にもう一つだけ存在して、その数は ３−６＝−３ ということになります」
私「なるほど。Ｇさん、なかなかやるじゃないですか。俄然、数学に目覚めたという感じですね」
Ｆ「私もすこし＜数学＞が分かってきましたよ。自明と思われることでも、ちゃんと証明ができるのですね」
私「そのとおりです。数学の命題は一部の定義や公理をのぞけば、すべて証明が可能です。数学で主張が正しいということは、それに先立つ命題から、そのことを論理的に導き出すことができるということなのです。さて、他に質問はありませんか。おや、たくさん手があがりましたね。Ｃさん、どうぞ」
という訳で、明日の日記でＣさんの質問を紹介しよう。
＜今日の一句＞ 琵琶の実に 雨降りかかる 日暮れかな 裕
