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re-invention

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■　最短経路の授業��

愛教大附属で見せていただいた最短経路の授業を。
3年生で，しかも三平方も相似も関数も学んでいるのだから，
単なる「対称」だけで終わらせない学びを仕組む。
残り時間を気にしなくていい，
この時期だからできる贅沢な授業。

スタート地点A（７，２）ゴール地点B（１，３）
立ち寄るのはX軸と，座標上での話とし，最短経路を考える。
すなわち，
�［�ち寄るPの座標　�∈巴擦猟垢機，魑瓩瓩気察�
一回折れ曲がる条件での一般化を考えさせようと思う。
（座標を変えても成り立つもの）

まずは，条件を説明し，
経路によって長さが変わること，
つまり最短経路が存在しそうだという話を確認。
そして，予想を立てさせ挙手で確認。

�［�ち寄る地点と�∈巴擦猟垢�
のどちらから求める？と聞くと，
「長さを求めて最短を求める」という話に。
（実際は，最短経路を知っていた生徒もいて，
　こちらに気を使ってもらったのかも・・・。）
まあそれもいいかと，流れに任せ，
三平方を使って，実際に求める展開に。
Pの位置を１，２，３，４，４.５，５，６，７とし，
4人組で分担してAP＋BPを求めさせる。
こういう図を描いている生徒を見るのは，授業者としてうれしいもの。
作図ツールの必要性が，こういう積み重ねを経て，初めて出てくるものだと思うから。
図を連続的に変化させて・・・ということに生徒が遭遇し，
「これは紙と鉛筆では駄目だよな」と思うまで待つとすると，
通常は時間がかかりすぎてしまう。
作図ツールを本格的に使う授業を仕組む難しさがここにある。

途中で，Voyageを使ってみたいという生徒が出てきた。
計算の補助ではなく，図を動かして見たいとのこと。
この生徒の振り返りカードには，
「最短になるのは，∠APBが最大の時ではないか」と
予想していたようだった。
（同様の予想を書いた生徒も数人いた。）
こんな生徒のリクエストに，Voyage画面の大きさでは答えられない。


小数が出てくると，計算は難しい。
計算で求めていくと，ルートでは比較が難しい。
Voyageを使って近似値で比べる。
どうやら4.5の地点あたりだということがわかるが，
「4.5の地点が最短とは限らない。」
「でも，小数は無限にあるから，最短を求めるのは難しいかも。」
と結論が出ないかもという予想も出されて，数学している感じに。
今後の展開が面白い。
＜301の振り返りカード＞
・自分が予想したのを確かめるのに，計算して求めることができるのですごいなと思った。
・4.5がわからない。4.4かも4.3，4.6かも。そこらへんは面白いなあ。
・ここが一番短いというところはわからないが，絶対に一つだけはここが一番短いというところがあるからすごい。
・最短の長さは，定規で求めるには苦しすぎる。三平方などを使ってみた方が細かくわかる。
・小数は無限になる数なのに，どうやって求めていくんだろう。
・BPのが長さとAPの長さは反比例になるのではないだろうか？
・∠APBの角度によって，AP＋BPの最短は求められないのか？
・ABを結んで真中から垂線を引いたら短くならないか？
・X軸を鏡だと考え，ABを光だとすると・・・・

次のクラス（303）では，予想し，実際に定規で測らせてみる。
�´△里匹舛蕕�ら攻める？と尋ねると，
このクラスも，�△�らということに。
（振り返りカードには，5人ぐらいが作図で・・となっていた）
予想がたくさん出たので，そのまま求めることに。

最短経路が出ないけど，301と同じような話で終わる。
このクラスの振り返りカードでは，問題の本質に迫る話も。
・この直角三角形は相似で，２：３に分けて（６を）計算できると思う。

302では，一気に最短経路の求め方が出る。

うなずいていたもう一人の生徒に説明させて，
確認のためのスタンドアップで，全体に広げる。
最短が見えたところで，点Pの座標と長さを求めさせる。

座標の求め方は，一次関数を使う生徒と，
相似な図形で考える生徒。

4人組でフォローし合い，どの班もたどり着いて時間切れ。

このクラスの振り返りカードには，
最短経路となる訳の理解や，様々な方法で解けることや，
これまで学んできた数学の確かさに対しての感想が多かった。
・上下のラインに１回ずつバウンドしての最短経路は？
という生徒も。


さあ，来週が楽しみだ。

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