命題「9×Nの各位の和をとり続けると、9になる」の証明（かなり簡略化しています。ツッコミなどは掲示板かメールで。）

■ステップ１
　まずは、「どのようなn桁の数Nであっても、9×Nの各位の和を取ると、やはり9の倍数になっている」ことを示す。

　9×Nの1の位をa₀、10の位をa₁のように、10ⁿの位をa_nと置くことにすると（ただし、最大の桁であるn桁目は0でないとする、つまりa_n≠0）、
　　9×N=a₀+10a₁+…+10ⁿa_n
となる。ここで、mod.9において、9×N≡0、10^k≡1が成り立つから、
　　0≡a₀+a₁+…+a_n
つまり、
　　a₀+a₁+…+a_n=9N'
と置くことができる。ここで、先ほどと同様に9×N'の10ⁿの位をb_nとおけば、やはり、
　　9×N'=b₀+10b₁+…+10ⁿb_n
　　0≡b₀+b₁+…+b_n
より、
　　b₀+b₁+…+b_n=9N''
とできる。これを繰り返すことで、どのようなNであっても、9×Nの各位の和はやはり9の倍数で、エンドレスに繰り返すことができることが分かった。

■ステップ２
　次に、「各位の和を取ると、元の数より小さい数になる」ことを示そう。そうすれば、いつかは9に収束するはずである。
　N≠1（実はN=2も満たさないことが分かるので、本当はN≧3）の場合に、
　　9×N=a₀+10a₁+…+10ⁿa_n,a₀+a₁+…+a_n≡0
に対して、
　　a₀+10a₁+…+10ⁿa_n ＞ a₀+a₁+…+a_n
であることを示そう。a_kは0から9のいずれかなので、右辺は高々9(n+1)でしかない。つまり、
　　a₀+10a₁+…+10ⁿa_n ＞ 9(n+1)
を示せばよい。n≧2のときは明らか（ではないが、ここでは明らかにしておく）なので、n=1のときのみ吟味すればよい（n=0はつまりN=1のときだから除外）。
　n=1のとき、示すべき不等式は、
　　10p+q>18、p+q≡0(mod.9)、0＜p≦9,0≦q≦9
と書き直せる。p>2においては明らか。p=1のときはq=8だから、18>18、これは不等式を満たさないので別物だとしておく。

　つまり、27以上の数においては、全ての9の倍数において、答えを和に直すと、元の数より小さい数（ただしそれでも9の倍数になる）ということが言えた。
　これを帰納的に利用すると、どのような27以上の9の倍数でも、27未満の9の倍数、つまり、9か18になることが言える。

■ステップ３
　9になった場合は、すでに9なのだから証明終了。18になった場合は、さらに分けて1+8=9だからこれも証明終了。

　これらより、どのようなNに対しても、9×Nの各位の和をとり続けると、結局は9になることが示された。