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| 2005年02月18日(金) | 数学の不思議な世界 |
ある数学者が、半径が１００キロメートルの円形の土地を買ったという。課税局の役人がきて、「この土地の面積は、円周率をπとすると、１００００π平方キロメートルですね」と言ったところ、数学者は「そんなことはない。もっと狭いはずだ」と異議を唱えた。
課税局の役人は「円の面積＝π×半径の二乗」という公式を使ったのだが、数学者は「私の土地にその公式を使ってはならない」という。役人がどうして公式が使えないの説明して欲しいというと、数学者は笑いながら、
「それでは、半径１万キロメートルの円の面積はいくらかな。君の公式では、１万π平方キロメートルということになるかな。これは正しいだろうか」
役人はやっと気がついた。ちなみに、地球を一周４万キロの球だとすると、１万キロは北極点から赤道までの距離ということになる。つまり、北極点を中心とする半径１キロメートルの円のなかには、地球の北半球がすべて収まることになる。
地球の半径＝２万／π（キロメートル）
地球の表面積＝１６万／π（平方キロメートル）
半径１万キロメートルの円＝８万／π（平方キロメートル）
ここで、π＝３．１４とすると、この円の面積は約２．５５万平方キロメートルということになり、最初の１万π平方キロメートル＝３．１４万平方キロメートルより、かなり狭い。これからわかるように、地上に描かれた円の面積は、数学の公式で与えられるものより小さくなる。
役人が恐縮していると、数学者は「それでは、君にもう一つ問題を出してやろう」と言い出した。役人は「いえ、私は忙しいので・・・」と逃げ腰だったが、数学者は「これはとても簡単な問題だ」というので、挑戦することにした。
「この地球上のある点をＡとしよう。その地点から南に１００キロメートル行く。そこをＢ点とする。そしてそこから、さらに東に１００キロメートル行く。そこをＣ点とする。そしてそこからさらに北に１００キロメートル行く。そこをＤ点とする。このとき、Ａ点とＤ点が同じ点になるのはどういうときか」
「つまり、南に１００キロメートル行って、東に１００キロメートル行って、北に１００キロメートル行ったとき、もとに戻ればいいのですね。これは簡単だ。北極点でしょう」
役人がほっとして席を立とうとしたとき、「君は人の話を最後まできかないといけないね。私は、北極点以外でと付け加えるつもりだったんだよ」
さて、北極点以外に、そんな不思議な点があるのだろうか。役人は考えたがどうしても思い浮かばない。そこで、「簡単な問題だと言ったのはウソですね」と上目使いに睨みつけると、「簡単だよ。私にとってはね」と数学者は涼しい顔だった。
数学者によると、彼自身はこの問題を１０分で解いたが、一般的にはこの問題を１時間で解ければ、そうとうな知能指数の持ち主だと思ってもいいらしい。ちなみに、役人は２時間考えても、とうとう解けなかった。
ヒントは、そうした点は南半球に存在するということ。そして、一つ見つかると、無数に存在することがわかる。答えは明日の日記に書こう。
